“張子豪那邊,估計(jì)暫時不會明著來了,”聶虎分析道,“但他肯定會想別的辦法報復(fù)。大家最近都小心些,盡量不要單獨(dú)行動,尤其不要去偏僻地方。蘇同學(xué),你更要當(dāng)心。”
蘇曉柔臉色微紅,點(diǎn)了點(diǎn)頭:“嗯,我會小心的。”
四人約好對好“口供”,便各自分開。聶虎和趙長青、李石頭回到宿舍時,其他舍友還沒回來。李石頭依舊沉浸在剛才的“勝利”中,興奮地小聲嘀咕著什么。趙長青則打了盆水,默默擦洗。聶虎簡單洗漱后,便又盤膝坐在床上,開始調(diào)息。剛才雖然動手時間不長,但他對“虎踞”心法和樁功的運(yùn)用,又有了新的體會。那種在運(yùn)動中保持重心沉穩(wěn),發(fā)力瞬間的爆發(fā),以及對敵人勁力的感知和牽引,都比他獨(dú)自練習(xí)時感悟更深。他知道,真正的危險或許還未到來,必須盡快提升自己。
接下來的幾天,出乎意料地平靜。張子豪沒有來上課,據(jù)說是“病了”。他那幾個跟班也消停了不少,見到聶虎他們,都躲得遠(yuǎn)遠(yuǎn)的,眼神里帶著驚懼。圖書館的沖突和后山的事,似乎被刻意壓了下去,沒有在明面上傳開。只有陳子明那伙人,看聶虎的眼神更加嫉恨和陰沉,私下里的議論也多了些諸如“走了狗屎運(yùn)”、“張少不會放過他”之類的話。
聶虎樂得清靜,將全部精力都投入到學(xué)習(xí)之中。數(shù)理依然是他最大的難關(guān)。那二十七分的恥辱,像一根刺扎在心里。他不再滿足于課上那點(diǎn)囫圇吞棗的講解,開始更加瘋狂地泡在圖書館。
這天下午放學(xué)后,聶虎照例來到圖書館。秦老先生依舊坐在門口的長條桌后,就著昏黃的燈光看那本似乎永遠(yuǎn)看不完的厚書。見到聶虎,他抬起眼皮,渾濁的目光在聶虎身上停留了一瞬,似乎想說什么,但最終還是只“嗯”了一聲,便又低下頭去。
聶虎對他微微躬身,放輕腳步走進(jìn)閱覽室。里面空無一人,只有灰塵在昏暗的光線中靜靜飛舞。他走到自己常坐的靠窗位置,放下書包,拿出那本《新式算學(xué)》和習(xí)題集,以及從圖書館角落里翻出來的、一本更破舊的、講基礎(chǔ)代數(shù)的《代數(shù)學(xué)初步》。
陽光透過蒙塵的玻璃窗,斜斜地照在泛黃的書頁上。那些x、y,那些方程式,那些幾何圖形,依舊像糾纏在一起的藤蔓,讓他頭疼。他咬著筆桿,眉頭緊鎖,在草稿紙上反復(fù)演算著一道關(guān)于“追及問題”的應(yīng)用題。題目并不復(fù)雜:甲、乙兩人從相距若干里的兩地同時出發(fā),相向而行,速度已知,問多久相遇。類似的題目,孫爺爺用“假設(shè)法”和“線段圖”教過他,他能理解。但王先生要求必須用“方程”來解。
他試圖設(shè)甲走的距離為x,乙走的距離為y,總距離為s,然后列方程:x+y=s,xv甲=yv乙=時間t。但接下來,怎么把t求出來?他卡住了。草稿紙上寫滿了各種嘗試,但越算越亂,像一團(tuán)亂麻。
時間一點(diǎn)點(diǎn)流逝,窗外的光線漸漸暗了下來。聶虎揉了揉發(fā)脹的太陽穴,閉上眼睛,嘗試在心中默默觀想那道題目,如同觀想草藥配伍,觀想氣血運(yùn)行。不同的思路,不同的路徑……忽然,一個念頭閃過。為何一定要分別設(shè)x和y?既然兩人同時出發(fā)到相遇,所用時間t相同,那么甲走的距離就是v甲*t,乙走的距離就是v乙*t,總距離s=v甲*t+v乙*t=(v甲+v乙)*t,所以t=s(v甲+v乙)!
原來如此!直接設(shè)時間為未知數(shù)t,用速度乘以時間表示距離,再根據(jù)總距離列方程,一下子就清晰了!聶虎猛地睜開眼睛,心中一陣豁然開朗的喜悅。他連忙拿起筆,在草稿紙上重新演算。這一次,思路順暢,很快就得出了答案。雖然只是一個很簡單的思路轉(zhuǎn)換,但對他而,卻像是推開了一扇新的大門,看到了方程解法簡潔有力的美。
他長舒一口氣,放下筆,活動了一下有些僵硬的手腕。這才發(fā)現(xiàn),閱覽室里不知何時,多了一個人。
蘇曉柔正坐在他對面不遠(yuǎn)處的另一張桌子旁,面前攤開一本厚重的英文原版書,正蹙著秀眉,低聲誦讀著什么。柔和的夕陽余暉透過窗戶,灑在她白皙的側(cè)臉上,給她認(rèn)真的神情鍍上了一層淡淡的光暈。她似乎遇到了難題,咬著下唇,手指無意識地卷著垂在胸前的發(fā)梢。
聶虎看了她一眼,沒有打擾,正準(zhǔn)備繼續(xù)攻克下一道難題,眼角的余光卻瞥見蘇曉柔面前的草稿紙上,似乎寫著一道數(shù)學(xué)題,旁邊還畫著復(fù)雜的幾何圖形。他心中微動。蘇曉柔是全班第一,數(shù)理成績優(yōu)異,或許……
他猶豫了一下。向一個女生請教問題,在當(dāng)時的觀念里,似乎有些不合時宜。但求知的渴望壓倒了一切。而且,蘇曉柔給他的感覺,和班里其他女生不太一樣,她沉靜,好學(xué),而且似乎并不像其他人那樣,因?yàn)椤暗箶?shù)第三”而看輕他。
聶虎輕輕咳嗽了一聲。
蘇曉柔聞聲抬起頭,看到是聶虎,微微一愣,隨即臉上露出一絲柔和的笑意,合上了面前厚重的英文書:“聶虎同學(xué),你也在這里。”
“嗯。”聶虎點(diǎn)了點(diǎn)頭,指了指她草稿紙上的幾何圖形,“蘇同學(xué),這道題……是數(shù)理課的嗎?我好像沒見過。”他問得比較委婉。
蘇曉柔看了一眼自己草稿紙上的題目,笑了笑,將草稿紙轉(zhuǎn)了個方向,推到桌子中間,方便聶虎看到:“不是課上的,是我在圖書館一本舊的數(shù)學(xué)雜志上看到的,覺得有點(diǎn)意思,就抄下來試著解解看。是道幾何證明題,有點(diǎn)難。”她的語氣自然,并沒有因?yàn)槁櫥⑹恰暗箶?shù)第三”而流露出任何輕視或不耐。
聶虎仔細(xì)看去。草稿紙上用鉛筆畫著一個三角形,旁邊標(biāo)注了一些字母和已知條件。題目是:在任意三角形abc中,d、e、f分別是bc、ca、ab邊上的中點(diǎn),證明:ad、be、cf三線交于一點(diǎn)(即重心)。
圖形并不復(fù)雜,但證明過程顯然不簡單。蘇曉柔在旁邊寫了一些推導(dǎo)步驟,似乎卡在了某個環(huán)節(jié),用筆輕輕劃了幾道線,表示困惑。
聶虎看著這道題,眉頭微微蹙起。三角形的中線交于一點(diǎn),這個結(jié)論他在孫爺爺給他看的一本殘破的《九章算術(shù)》注疏里似乎見過描述,但沒有證明。這道題用的是字母和符號,表述方式很“新學(xué)”,但他能看懂意思。
他盯著圖形,腦中飛快地回憶著這幾天囫圇吞棗看過的幾何知識。中點(diǎn),連線……平行?比例?他嘗試著在腦中構(gòu)建圖形,尋找其中的關(guān)系。忽然,他想起下午剛剛弄懂的那種“追及問題”的思路轉(zhuǎn)換――直接設(shè)未知,用已知表示關(guān)系。
既然d是bc中點(diǎn),那么從b到d和從d到c的距離相等,如果以b為,c為終點(diǎn),設(shè)bc長度為a,那么bd=dc=a2。但這似乎對證明三條線交于一點(diǎn)沒什么直接幫助……
他又想到另一個思路。既然要證明交于一點(diǎn),是否可以先假設(shè)兩條中線,比如ad和be,交于點(diǎn)g,然后證明點(diǎn)g也在cf上?或者,證明g到各的距離有某種關(guān)系?
他拿過自己的草稿紙和筆,對蘇曉柔說:“蘇同學(xué),我試試看,不一定對。”蘇曉柔有些驚訝,但隨即點(diǎn)了點(diǎn)頭,好奇地看著他。
聶虎在紙上重新畫了一個三角形abc,標(biāo)出中點(diǎn)d、e、f。他先假設(shè)ad和be交于點(diǎn)g。然后,他嘗試用“坐標(biāo)”的思路――這是他在一本更深的數(shù)學(xué)書上看到的模糊概念,還不甚理解,但隱約覺得可以用來描述點(diǎn)的位置。如果把a(bǔ)點(diǎn)當(dāng)作原點(diǎn),ab方向作為一條數(shù)軸……不行,太復(fù)雜,而且他不熟悉。
他換了個思路。既然d是bc中點(diǎn),那么向量bd=向量dc?不,方向相反。他卡住了。
蘇曉柔見他眉頭緊鎖,時而畫圖,時而演算,時而又停筆沉思,完全沉浸其中,與平時沉默寡的樣子判若兩人。她注意到,聶虎的草稿紙上,除了幾何圖形和算式,還有一些奇怪的、類似標(biāo)記方位和力道的符號,似乎是他自己獨(dú)特的思考方式。
“要不要看看我的思路?”蘇曉柔輕聲開口,用鉛筆指著自己草稿紙上的一行式子,“我是想,連接de,因?yàn)閐、e都是中點(diǎn),所以de平行于ab,且等于ab的一半。然后,如果ad和be交于g,可以嘗試證明三角形agb和三角形dge相似,或者通過面積來證……”
聶虎聽著蘇曉柔的思路,眼睛漸漸亮了起來。平行!相似三角形!這些概念他這幾天剛在《幾何初步》里看到過,雖然還不熟練,但蘇曉柔一點(diǎn)撥,他立刻有了方向。
“平行……相似……”聶虎喃喃自語,手指在草稿紙上快速劃動,“de平行ab,所以角g?de=角gab,角ged=角gba……那么三角形g?de和三角形gab相似!相似比是12,因?yàn)閐e是ab的一半!所以,ag=2*g?d,bg=2*ge!”
他越說越快,思路如同開閘的洪水,洶涌而出:“同理,如果連接ef,ef平行于bc,且等于bc的一半,那么be和cf的交點(diǎn),如果也叫g(shù)',同樣可以證明g'b=2*g'e,g'c=2*g'f。而ad和be的交點(diǎn)g,滿足bg=2*ge。那么,如果g和g'是同一點(diǎn),就需要bg=2*ge且bg'=2*g'e同時成立,這要求e到b的距離和比例一致……等等,我好像繞進(jìn)去了……”
聶虎停了下來,眉頭又皺緊了。相似三角形能推出比例關(guān)系,但怎么證明那個交點(diǎn)就是同一點(diǎn)呢?
蘇曉柔眼睛卻亮了。她沒想到聶虎這么快就能想到相似三角形,而且推導(dǎo)出了關(guān)鍵的比例關(guān)系。雖然最后卡住了,但這個思路已經(jīng)非常接近標(biāo)準(zhǔn)解法之一了。她拿起筆,在聶虎的草稿紙上接著寫下去:“不用繞。既然三角形g?de和gab相似,且de平行于ab,那么對應(yīng)點(diǎn)的連線是共點(diǎn)的……或者說,我們可以用同一法。假設(shè)ad和be交于g,連接cg并延長交ab于f',我們只需要證明f'就是ab的中點(diǎn)f。利用相似和比例,可以證明af'=f'b。所以f'就是f,因此cf也經(jīng)過g。這就證明了三條中線交于一點(diǎn)。”
她一邊說,一邊流暢地寫下證明步驟。雖然有些術(shù)語聶虎還不甚明了,但整體的邏輯鏈條,他卻看懂了。利用相似三角形推出比例,再反推中點(diǎn),環(huán)環(huán)相扣,嚴(yán)謹(jǐn)而優(yōu)美。
“原來如此……同一法……”聶虎看著蘇曉柔清晰的演算,心中有種豁然開朗的感覺,同時也感到深深的震撼。這道題,蘇曉柔不僅會做,而且思路清晰,表述嚴(yán)謹(jǐn)。而自己,雖然摸索到了一點(diǎn)邊,卻遠(yuǎn)遠(yuǎn)不及。這就是差距,實(shí)實(shí)在在的差距。
“蘇同學(xué),你真厲害。”聶虎由衷地贊嘆道,語氣里沒有絲毫嫉妒或自卑,只有純粹的佩服和求知的渴望,“這個‘同一法’,還有相似三角形的運(yùn)用,我還沒完全掌握。你能再給我講講,這里,為什么de一定平行于ab,且等于ab的一半嗎?我記得書上有個‘中位線定理’,是不是就是這個?”
蘇曉柔看著聶虎清澈而專注的眼睛,那里面沒有絲毫的虛偽或掩飾,只有對弄懂問題的迫切。她的臉頰微微有些發(fā)熱,不是因?yàn)楫愋缘淖⒁暎且驗(yàn)橐环N被認(rèn)真對待、被真誠請教的滿足感。她點(diǎn)點(diǎn)頭,拿起筆,在草稿紙上重新畫了一個清晰的三角形,開始耐心地講解起來:“是的,這就是三角形中位線定理。你看,連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段,叫做中位線。它的性質(zhì)就是平行于第三邊,并且等于第三邊的一半。證明可以用相似,也可以連接構(gòu)造平行四邊形……”
昏黃的燈光下,少女清潤的講解聲和少年偶爾的提問聲,交織在一起。窗外的天色徹底暗了下來,圖書館里越發(fā)安靜,只有筆尖劃過紙張的沙沙聲,和兩人低聲的探討。那些嘲諷、那些沖突、那些潛在的危險,似乎都被隔絕在這方小小的、堆滿書籍的天地之外。此刻,只有一道題,兩種思維的交匯,和一種名為“求知”的純粹光芒,在默默閃耀。_c